一种新的分形维数：拓扑豪斯多夫维数

我们为度量空间引入一种新的维数概念，即所谓的拓扑豪斯多夫维数。它由拓扑维数和豪斯多夫维数的定义以一种非常自然的方式组合而成。拓扑豪斯多夫维数的值始终介于拓扑维数和豪斯多夫维数之间，特别地，这一新维数是豪斯多夫维数的一个非平凡下界估计。我们考察了这一新维数概念的基本性质，将其与其他已知概念进行比较，并确定了它在一些经典分形上的取值，如谢尔宾斯基地毯、冯·科赫雪花曲线、挂谷集合、布朗运动轨迹等。作为我们的第一个应用，我们推广了 Chayes、Chayes 和 Durrett 关于 Mandelbrot 分形渗流过程的极限集连通性相变的著名结果。他们证明了当超过一个临界概率时，某些曲线会出现在极限集中，而我们证明实际上会出现“厚”曲线族，这里“厚”一词粗略地意味着这些曲线可以由一个具有大豪斯多夫维数的集合以自然方式参数化。其证明本质上是对极限集的拓扑豪斯多夫维数的一个下界估计。为完整起见，我们还给出了一个上界估计，并得出结论：在非平凡情形下，拓扑豪斯多夫维数几乎必然严格小于豪斯多夫维数。最后，作为我们的第二个应用，我们证明拓扑豪斯多夫维数恰好是描述定义在紧度量空间上的通用连续函数（在贝尔纲的意义下）的水平集的豪斯多夫维数的正确概念。