Hausdorff 维数与 Mendes France 维数:一项比较研究

本文包含对平面上绘制的两类简单曲线的比较研究。一方面,我们有单位区间上具有自相似结构的分形曲线,其伴随一个 Hausdorff 维数。另一方面,我们有相反的一类:局部可求长的无界曲线类,其具有由 M. Mendes France 定义的另一种"分数维数"。我们提出一个几何构造过程,该过程将通过压缩变换作为多边形曲线序列的极限得到第一族的一条曲线,并通过扩张变换得到第二族的一条曲线。借助这一联系两族曲线的过程,我们能够比较它们的维数——这是本工作的目标——并取得有趣的结果,例如在严格自相似情形下两者相等。