典型连续映射图像的分形维数

设 $K$ 为不可数紧度量空间，令 $C(K,\mathbb{R}^d)$ 表示赋予最大范数的连续映射 $f\colon K \to \mathbb{R}^d$ 的集合。本文旨在确定典型 $f\in C(K,\mathbb{R}^d)$ 的图像的各种分形维数。作为本文的主要结果，我们证明若 $K$ 仅有有限个孤立点，则典型 $f\in C(K,\mathbb{R}^d)$ 的图像的下、上盒维数分别为 $\underline{\dim}_B K+d$ 和 $\overline{\dim}_B K+d$。这推广了 Gruslys, Jonušas, Mijović, Ng, Olsen 和 Petrykiewicz 的定理。我们证明了典型 $f\in C(K,\mathbb{R}^d)$ 的图像具有填充维数 $\dim_P K+d$，推广了 Balka, Darji 和 Elekes 的结果。Balka, Darji 和 Elekes 证明了典型 $f\in C(K,\mathbb{R}^d)$ 的图像的豪斯多夫维数等于 $\dim_H K+d$。我们基于 Fraser 和 Hyde 的方法给出了该结论的一个更简证明。