从球面出发收敛到凸包边界的连续映射

给定 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个互异点 $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n$,令 $K$ 表示它们的凸包(我们假设其为 $d$ 维),并令 $B = \partial K$ 为其 $(d-1)$ 维边界。我们构造了一族显式的单参数连续映射 $\mathbf{f}_{\varepsilon} \colon \mathbb{S}^{d-1} \to K$,其中对 $\varepsilon > 0$,这些映射定义于 $(d-1)$ 维球面上,且具有以下性质:其像 $\mathbf{f}_{\varepsilon}(\mathbb{S}^{d-1})$ 是包含于 $K$ 内部的余维 $1$ 子流形。此外,当参数 $\varepsilon$ 趋于 $0^+$ 时,像 $\mathbf{f}_{\varepsilon}(\mathbb{S}^{d-1})$ 作为集合收敛到凸包的边界 $B$。我们运用(球面)多面体的凸几何技术与集值同调证明了该定理。我们进一步建立了其与适当定义的 $B$ 的高斯映射之间有趣的关系。文中将给出若干说明我们结果的计算机绘图。