典型连续函数凸包的多重分形性质
经典分析与常微分方程
2016-04-26 v2
摘要
我们研究定义在 [0,1]d 上的典型/一般连续函数的凸包的奇异性（多重分形）谱。我们用 Eφh 表示使得 φ:[0,1]d→R 具有逐点 Hölder 指数等于 h 的点集。令 Hf 为 f 图像的凸包，位于 Hf 顶部的凹函数记为 φ1,f(x)=max{y:(x,y)∈Hf}，而 φ2,f(x)=min{y:(x,y)∈Hf} 表示 Hf 底部的凸函数。我们证明存在稠密的 Gδ 子集 G⊂C[0,1]d 使得对于 f∈G 满足以下性质。对于 i=1,2，函数 { { { \varphi }_ {i,f}} 与 f 仅在一个零 Hausdorff 维数集上重合，函数 { { { \varphi }_ {i,f}} 在 (0,1)d 上连续可微，Eφi,f0 等于 [0,1]d 的边界，dimHEφi,f1=d−1，\dim_{H}{\mathbf E}_{ { { \varphi } }_{i,f}^{+ { \infty }}=d 且若 h∈(0,+∞)∖{1} 则 Eφi,fh=∅。
引用
@article{arxiv.1603.09162,
title = {Multifractal properties of convex hulls of typical continuous functions},
author = {Zoltan Buczolich},
journal= {arXiv preprint arXiv:1603.09162},
year = {2016}
}