一类自仿射函数的可微性与 Hölder 谱

本文研究了一大类连续函数 $f:[0,1]\to\mathbb{R}^d$，其值域是由相似变换组成的迭代函数系 $\{S_1,\dots,S_{m}\}$ 的吸引子。这一类函数包括诸如 Pólya 空间填充曲线、Riesz-Nagy 奇异函数和 Okamoto 函数等经典例子。$f$ 的可微性根据映射 $S_1,\dots,S_{m}$ 的压缩比被完全分类。推广 Lax (1973) 和 Okamoto (2006) 的结果，我们证明要么 (i) $f$ 处处不可微；(ii) $f$ 几乎处处不可微但有无穷多个例外点；要么 (iii) $f$ 几乎处处可微但有无穷多个例外点。计算了情形 (ii) 和 (iii) 中例外集的豪斯多夫维数，并且更一般地，确定了 $f$ 的完整多重分形谱。