双参数自仿射函数族的可微性

本文揭示了实数到非整数基展开（所谓的 β-展开）与一类自仿射函数的无穷导数之间出人意料的联系。确切地说，我们将 Okamoto 函数（其本身是著名的 Perkins 和 Katsuura 函数的推广）扩展为一个双参数族 $\{F_{N,a}: N\in\mathbb{N}, a\in(0,1)\}$。我们首先证明，对于每个 $x$，$F_{N,a}'(x)$ 要么是 $0$、$\pm\infty$，要么无定义。然后我们通过证明对于每个 $N$，根据 $a$ 相对于一对阈值的取值，集合 $\{x: F_{N,a}'(x)=0\}$ 要么为空，要么不可数但勒贝格零测，要么具有满勒贝格测度，从而推广了 Okamoto 定理。我们计算了第二种情形下的豪斯多夫维数。第二个结果是对集合 $\mathcal{D}_\infty(a):=\{x:F_{N,a}'(x)=\pm\infty\}$ 的刻画，这使我们能够将该集合与在（通常非整数的）基 $\beta=1/a$ 下具有唯一展开的点集紧密联系起来。然后利用 β-展开理论的最新进展来确定 $\mathcal{D}_\infty(a)$ 的基数和豪斯多夫维数，这在定性上取决于 $a$ 相对于第二对阈值的取值。