平面区域上特征函数的渐近性

我们考虑由将一个 $N\times 1$ 矩形附加到固定集合 $\Omega_0 = \{(x,y): 0<y<1, -\phi(y)<x<0\}$ 所得到的一族区域 $(\Omega_N)_{N>0}$，其中 $\phi\geq 0$ 为 Lipschitz 函数。当 $N\to\infty$ 时，我们推导了 $\Omega_N$ 上第 $m$ 个 Dirichlet 特征值（对于任意固定的 $m$）及相关特征函数的完整渐近展开。第二项涉及无限区域 $\Omega_\infty$ 上 Dirichlet 问题中出现的散射相。我们确定了该散射相关于 $\phi$ 在 $\phi\equiv 0$ 处的一阶变分。随后利用这一结果证明了先前由同一作者获得的关于凸域上特征函数极值点和 nodal line 位置结果的尖锐性。