通过概率耦合法研究 Lipschitz 域中主 Dirichlet 本征函数的若干性质

我们研究了在维数 $d\geq 2$ 的开放有界连通集合 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 中的离散和连续版本的谱 Dirichlet 问题。更准确地说，考虑简单随机游走在 $\mathbb{Z}^d$ 上被杀死后（在较大的有界域 $\Omega_N = (N\Omega)\cap \mathbb{Z}^d$ 中）的行为。我们记其转移矩阵为 $P_N$，并研究其 ($L^2$-标准化的) 主特征向量 $\phi_N$，也称为基态。 在对 $\Omega$ 进行 mild 假设后，我们给出 $\phi_N$ 的正则性估计，即其 $k$ 次阶差分（或第 $k$ 阶导数）的估计，在 $\Omega_N$ 内部具有均匀控制。我们提供了完全概率论的证明：我们的起点是 $\phi_N$ 的 Feynman-Kac 表示，结合 gambler's ruin 估计和一种新的 ``multi-mirror'' 耦合，这可能具有独立的兴趣。我们也获得了对应连续谱 Dirichlet 问题的第一个本征函数 $\varphi_1$ 类似的估计，与被杀死后离开 $\Omega$ 的布朗运动相关。最后，我们借此机会审阅（并稍微扩展）一些关于 $\phi_N$ 在 Lipschitz 有界域中对 $\varphi_1$ 的 $L^2$ 和一致收敛的文献，这可以归功于我们的估计。