Hilbert空间子集上Ornstein–Uhlenbeck算子的Dirichlet半群

我们考虑无穷维Hilbert空间H中的一族自伴Ornstein–Uhlenbeck算子$L_{\alpha}$，对于所有$\alpha \in [0,1]$，它们具有相同的高斯不变测度$\mu$。我们研究闭集K上方程$\lambda \phi - L_{\alpha}\phi = f$（其中$f\in L^2(K, \mu)$）的Dirichlet问题。首先证明，由Lax–Milgram定理平凡给出的变分解，可以如预期地通过停时到K的转移半群来表示。然后我们处理两个问题：1) Dirichlet问题的解$\varphi$（按定义属于Sobolev空间$W^{1,2}_{\alpha}(K,\mu)$）的正则性；2) Dirichlet边界条件的含义。关于正则性，我们能够证明内部的$W^{2,2}_{\alpha}$正则性结果；关于边界条件，我们同时考虑了非正则边界和正则边界。在第一种情况下，我们满足于得到一个解，其在K外的零延拓属于$W^{1,2}_{\alpha}(H,\mu)$。在第二种情况下，我们利用Malliavin的曲面积分理论（在论文附录中回顾），从而能够赋予$\phi$在K边界上的迹以意义，并证明它自然为零。