图邻域与散射的谱

设$(G_\epsilon)_{\epsilon>0}$为基于有限度量图$G$建模的一族'$\epsilon$-细'黎曼流形，例如$G$嵌入某欧几里得空间（具有直边）的$\epsilon$-邻域。我们研究了当$\epsilon\to 0$时，$G_\epsilon$上 Laplace-Beltrami 算子谱在各种边界条件下的渐近行为。我们利用非紧极限空间上的散射数据，获得了第$k$个特征值和特征函数的完整渐近展开，且该展开对于$k\leq C\epsilon^{-1}$是一致的。随后，我们利用此结果确定了在谱意义上可视为族$(G_\epsilon)$极限对象的量子图。我们的方法是从散射和图数据直接构造近似特征函数，并利用先验估计证明所有特征函数均可由此方式获得。