图拉普拉斯算子在孤立奇点附近的渐近行为

本文研究了光滑黎曼流形 $(M,g)$ 上孤立奇点 $x$ 处连续图拉普拉斯算子的渐近行为。我们证明，如果曲率函数 $\kappa$ 在 $x$ 附近增长得不太快，则图拉普拉斯算子在 $x$ 处随着带宽 $t\downarrow 0$ 收敛于加权拉普拉斯-贝尔特拉米算子。另一方面，我们还证明，如果在 $x$ 附近对给定黎曼度量进行非常数的纯角向 conformal factor 的局部修改，则 $\kappa$ 增长得太快，图拉普拉斯算子在 $t\downarrow 0$ 时表现为 $O(\frac{1}{\sqrt{t}})$，给定纯角向 conformal factor 的一个温和条件。我们给出在特定情况下图拉普拉斯算子随 $t\downarrow 0$ 的 Taylor 展开。数值模拟说明了我们的结果。