基于流形热插值的高斯核化图拉普拉斯算子的特征收敛
统计理论
2025-09-16 v3 机器学习
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统计理论
摘要
本文研究了当图亲和矩阵由嵌入于可能高维空间中的 维流形上的 个随机样本构造时，图拉普拉斯算子到 Laplace-Beltrami 算子的谱收敛。通过分析 Dirichlet 形式收敛并借助流形热核卷积构造候选近似特征函数，我们证明：使用高斯核时，可令核带宽参数 ，使得特征值收敛速率为 ，而特征向量在 2-范数下的收敛速率为 ；当 时，特征值与特征向量速率均为 。这些速率相差一个 因子，且针对有限个低阶特征值证明。结果对数据在流形上均匀采样时的非归一化与随机游走图拉普拉斯算子，以及非均匀采样数据下的密度校正图拉普拉斯算子（其亲和矩阵由度矩阵双侧归一化）均成立。作为中间结果，我们证明了密度校正图拉普拉斯算子新的逐点收敛与 Dirichlet 形式收敛速率。数值结果用于验证该理论。
引用
@article{arxiv.2101.09875,
title = {Eigen-convergence of Gaussian kernelized graph Laplacian by manifold heat interpolation},
author = {Xiuyuan Cheng and Nan Wu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2101.09875},
year = {2025}
}
备注
This updated arXiv version is to correct a typo in the condition of Theorem 6.7 in the published version. Specifically, the assumption of density p is as in Assumption 1(A2), instead of assuming p uniform. Section 6 is to handle non-uniform density p, and the proved rates are same as in the density uniform case