kNN 图拉普拉斯算子的改进收敛率：可微分自调亲和度

在基于图的数据分析中，$k$ 近邻（$k$NN）图因其对局部数据密度的适应性而被广泛使用。通过允许图中的加权边，核化图亲和度提供了一种更通用的 $k$NN 图类型，其中 $k$NN 距离用于自适应地设置核带宽。在这项工作中，我们考虑了一类通用的 $k$NN 图，其中图亲和度为 $W_{ij} = \epsilon^{-d/2} k_0( \| x_i - x_j \|^2 / \epsilon\, \phi(\hat{\rho}(x_i), \hat{\rho}(x_j))^2 )$，其中 $\hat{\rho}(x)$ 为点 $x$ 处的（重缩放后的）$k$NN 距离，$\phi$ 为对称双变量函数，$k_0$ 为 $[0,\infty)$ 上的非负函数。在流形数据设定下，其中 $N$ 个独立同分布样本 $x_i$ 从一个密度 $p$ 中抽取，该密度定义在一个嵌入高维欧几里得空间的 $d$ 维未知流形上，我们证明了 $k$NN 图拉普拉斯算子逐点收敛到极限流形算子（依赖于 $p$）的速率为 $O(N^{-2/(d+6)})$（至多差一个对数因子），当 $k_0$ 和 $\phi$ 具有 $C^3$ 正则性并满足其他技术条件时。这是在 $\epsilon \sim N^{-2/(d+6)}$ 且 $k \sim N^{6/(d+6)}$ 时获得的，两者均为在理论上平衡偏差与方差误差的最优阶。我们的改进收敛率基于对 $k$NN 估计器的精细分析，这可能具有独立的研究价值。我们通过模拟数据的数值实验验证了我们的理论。