浅层图卷积神经网络训练的流形极限

我们在流形假设下，研究了在采样点云的邻近图上训练浅层图卷积神经网络（GCNNs）的离散到连续一致性。图卷积通过图拉普拉斯算子进行谱定义，其低频谱近似于底层光滑流形的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的谱，而可能具有无限宽度的浅层 GCNN 是参数空间上测度空间的线性泛函。从这一泛函分析视角来看，图信号被视为流形上函数的空间离散化，这引出了跨图分辨率一致的训练数据的自然概念。为使收敛结果成立，连续参数空间被选为弱紧的单位球乘积，并对输出权重和偏置施加索伯列夫正则性，但对卷积参数不作要求。相应的离散参数空间继承了相应的谱衰减，并额外受到适应于图拉普拉斯算子信息谱窗口的频率截断限制。在这些假设下，我们证明了正则化经验风险最小化泛函的 $\Gamma$-收敛性，以及其全局极小点在参数测度弱收敛和函数在紧集上一致收敛意义下的相应收敛。这为训练此类网络的网格和样本无关性提供了形式化表述。