用于拓扑数据分析的一致流形表示
经典分析与常微分方程
2019-02-26 v3
摘要
对于从嵌入欧几里得空间中的任意密度采样的流形上的数据，引入了连续k近邻（CkNN）图构造。证明了CkNN在几何上是一致的，即在一定条件下，未归一化的图拉普拉斯算子在谱意义和逐点意义上均收敛于拉普拉斯-贝尔特拉米算子。对于紧流形（并猜想对非紧流形）证明了CkNN是唯一能在数据量趋于无穷时产生与底层流形连通分量一致的几何的无权构造。因此CkNN生成单个图来同时捕获所有拓扑特征，这与持续同调为每个同调生成元分配单独尺度形成对比。作为应用，我们推导出一种新的快速聚类算法以及一种在拓扑上识别自然图像中模式的方法。最后，我们猜想CkNN在拓扑上是一致的，即由图拉普拉斯算子隐含的Vietoris-Rips复形的同调在数据量趋于无穷时收敛于由拉普拉斯-德拉姆算子隐含的底层流形的同调。
关键词
引用
@article{arxiv.1606.02353,
title = {Consistent Manifold Representation for Topological Data Analysis},
author = {Tyrus Berry and Timothy Sauer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1606.02353},
year = {2019}
}