点数据上的图诱导复形

从点数据中提取拓扑信息的效率很大程度上取决于构建在数据点之上的复形。从计算角度来看，迄今为止最受青睐的复形是 Vietoris-Rips 复形和 witness 复形。虽然 Vietoris-Rips 复形易于计算，且是提取采样空间拓扑的良好载体，但其规模巨大，尤其是在高维情况下。另一方面，witness 复形由于采用了子采样而具有较小的规模，但在高维情况下除非施加额外结构，否则无法捕捉拓扑。我们研究了一种称为图诱导复形（graph induced complex）的复形，它在某种程度上兼具两者的优势。它作用于子样本，但仍保留了 Vietoris-Rips 复形捕捉拓扑的能力。它仅需一个连接原始采样点的图，从而在该图上为子样本构建复形，显著控制了规模。我们表明，利用图诱导复形可以：(i) 从非常稀疏的子样本推断流形的一维同调；(ii) 无需计算 Delaunay 三角剖分即可从稀疏子样本重构三维曲面；(iii) 从足够密集的样本推断紧集的持久同调群。我们提供了支持我们理论的实验证据。