关于构建在平稳点过程上的随机复形的拓扑结构

近年来，主要受应用代数拓扑问题的驱动，人们对随机单纯复形的同调产生了浓厚兴趣。我们考虑这样一种情景：单纯形的顶点是 $\mathbb {R}^d$ 中随机点过程的点，而边和面则根据某种确定性规则确定，通常导致 \v{C}ech 复形和 Vietoris-Rips 复形。特别是，当顶点是一般平稳点过程的点时，我们获得了关于同调的结果，这些结果通过 Betti 数的增长来衡量。这显著扩展了早期的结果，早期结果中的点要么是独立同分布的观测值，要么是泊松过程的点。在处理表现出吸引或排斥等依赖关系的一般点过程时，我们发现了与独立同分布和泊松情形中观察到的现象在数量上不同的现象。从拓扑数据分析的角度来看，我们的结果严重影响了统计推断中模型（非）鲁棒性的考量。我们的证明依赖于对平稳点过程的子图和连通分量计数的分析，这在随机几何学中具有独立的意义。