随机采样下连接 Laplacian 的谱收敛性

基于离散图 Laplacian 的特征向量和特征值的谱方法，如扩散映射 (Diffusion Maps) 和 Laplacian 特征映射 (Laplacian Eigenmaps)，常用于流形学习和非线性降维。Belkin 和 Niyogi \cite{belkin_niyogi:2007} 此前已证明，当从流形上的均匀分布中独立采样的数据点趋于无穷多时，图 Laplacian 的特征向量和特征值收敛于流形的 Laplace-Beltrami 算子的特征函数和特征值。最近，我们引入了向量扩散映射 (Vector Diffusion Maps)，并表明流形切丛的连接 Laplacian 可以从随机样本中近似。在本文中，我们通过考虑流形的主丛结构，提出了一个近似流形上其他连接 Laplacian 的统一框架。我们证明了在无限多个独立随机样本的极限下，这些 Laplacian 的特征向量和特征值是收敛的。我们将谱收敛结果推广到了数据点从非均匀分布中采样的情况，以及适用于有边界和无边界的流形。