唯一与强唯一展开集

关于实数在非整数基下的展开已有大量论述。特别地，对于有限字母表 $\{0,1,\dots,\alpha\}$ 和实数（基）$1<\beta<\alpha+1$，所谓在基 $\beta$ 下具有唯一展开的数字的{\em 唯一展开集}近年来引起了极大关注。受近期 $\beta$ 展开在 Bernoulli 卷积及某类自仿射函数中的应用的启发，我们引入了{\em 强唯一展开集}的概念。我们详细研究了是唯一展开但非强唯一展开的数的集合 $D_\beta$。我们的主要结果是：$D_\beta$ 非空当且仅当数字 $1$ 在基 $\beta$ 下有唯一的非终止展开，且此时 $D_\beta$ 不可数。我们给出了 $D_\beta$ 具有正 Hausdorff 维数的一个充分条件，并表明另一方面，存在无穷多个 $\beta$ 值使得 $D_\beta$ 不可数但 Hausdorff 维数为零。