张量与边界连续函数的凸组合

对于维数大于等于 $n$ 的实 Banach 空间 $E$，其单位球记为 $E_{\le 1}$，以及任意拓扑空间 $X$，在 $C(X,E_{\le 1})$ 中的任意元素都可以表示为最多三个取值于单位球面 $\partial E_{\le 1}$ 的函数的线性组合。另一方面，若 $X$ 为 normal 空间，则 $C(X,E_{\le 1})$ 只能是 $C(X,\partial E_{\le 1})$ 的凸包，若且仅当 $X$ 的覆盖维数严格小于 $\dim E$。这一现象的一个变体是：正规的 $X$（即 $\dim X < \dim E$）恰好是那些使得 $C(X,E_{\le 1})$ 是 nowhere-vanishing 连续 $X \to E_{\le 1}$ 函数凸Hull的空间，或等价地，是取值于任意薄球壳 $E_{[r,1]}$（$r \in (0,1)$）的连续函数的凸Hull。上述结果推广了 Peck、Cantwell、Bogachev、Mena-Jurado、Navarro-Pascual 和 Jim\'enez-Vargas 等人关于在严格凸或复数 $E$ 情形下，实现 $C(X,E)$ 单位球的极点凸Hull的问题所做出的诸多结论。