极值近似凸函数与凸包大小的估计

定义在凸集 $K$ 上的实值函数 $f$ 是近似凸函数，当且仅当它满足 $$f((x+y)/2) \le (f(x)+f(y))/2 + 1.$$ 我们对近似凸函数进行了透彻研究。主要结果是对在单形顶点上消失的下半连续近似凸函数的一个sharp统一上界，以及对在单形顶点上消失的唯一最大的有界近似凸函数~$E$ 的显式描述。赋范空间中的集合 $A$ 是近似凸集，当且仅当对所有 $a,b\in A$，中点 $(a+b)/2$ 到 $A$ 的距离 $\le 1$。对近似凸函数的界被用于证明：在带有欧氏范数的 $\R^n$ 中，对任意近似凸集 $A$，凸包中任一点 $z$ 到 $A$ 的距离至多为 $[\log_2(n-1)]+1+(n-1)/2^{[\log_2(n-1)]}$。给出了例子表明这是紧界。也给出了 $R^n$ 上一般范数的界。