有理映射与凸包边界

若 $C_n(\mathbb{R}^d)$ 表示 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个相异点的构型空间，我们构造一列映射 $(f_m),$$m \geq 1$，其中 $$f_m: C_n(\mathbb{R}^d) \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$$ 是实解析的，并具有如下性质：对任意 $\mathbf{x} \in C_n(\mathbb{R}^d)$ 及任意 $m \geq 1$，映射 $f_m(\mathbf{x},-): \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d$ 是一个有理映射，其像包含于 $\mathbf{x}$ 的凸包中。我们的逼近猜想是：对任意 $\mathbf{x} \in C_n(\mathbb{R}^d)$，球面 $S^{d-1}$ 在我们的映射 $f_m(\mathbf{x},-)$ 下的像是 $\mathbf{x}$ 的凸包边界的一个逼近。更精确地，我们猜想 $$\operatorname{lim}_{m \to \infty} d_H\left(f_m(\mathbf{x},-)(S^{d-1}), \,\partial \operatorname{Conv}(\mathbf{x}) \right) = 0,$$ 其中 $d_H(-,-)$ 是 Hausdorff 距离，$\operatorname{Conv}(\mathbf{x})$ 是 $\mathbf{x}$ 的凸包，$\partial$ 是边界算子。本文中将给出计算机生成的绘图。