超图的凸维数与超单形的 Van Kampen-Flores 定理

$k$-一致超图的凸维数是使其顶点到 $\mathbb{R}^d$ 的注入映射存在的最小维数 $d$，且所有超边的 $k$-重心集合处于凸位置。我们完全确定了完全 $k$-一致超图的凸维数，解决了 Halman、Onn 与 Rothblum 的一个开放问题，他们解决了完全图的情形。我们还对估计具有凸维数 $d$ 的 $n$ 个顶点上 $k$-一致超图超边最大数量的极值问题给出了下界与上界。为证明这些结果，我们将它们重述为保持超单形顶点的仿射投影的术语。更一般地，我们提供了保持其 $i$ 维骨架的投影的完整刻画。特别地，我们得到线性 van Kampen-Flores 定理的超单形推广：对每个 $n$、$k$ 与 $i$，我们确定了 $(n,k)$-超单形在保持其 $i$-骨架的同时可被线性投影到哪些维数上。我们的结果在 $k$-集与 $(i,j)$-划分方面有直接解释，并与在 $k$ 个点集的闵可夫斯基和中寻找大凸独立子集的问题密切相关。