关于流形的广义 Heawood 不等式：一种 van Kampen--Flores 型的不可嵌入结果

完全图 $K_5$ 不能嵌入平面这一事实已在两个独立方向上得到推广。一方面，曲面上图的经典 Heawood 问题的解表明，完全图 $K_n$ 可嵌入闭曲面 $M$（Klein 瓶除外）当且仅当 $(n-3)(n-4)\leq 6b_1(M)$，其中 $b_1(M)$ 是 $M$ 的第一 $\mathbb Z_2$-Betti 数。另一方面，van Kampen 和 Flores 证明了 $n$ 维单纯形的 $k$-骨架（$K_{n+1}$ 的高维类比）可嵌入 $\mathbb R^{2k}$ 当且仅当 $n \le 2k+1$。二十年前，K"uhnel 猜想：$n$-单纯形的 $k$-骨架仅当满足以下广义 Heawood 不等式时，才能嵌入具有第 $k$ 个 $\mathbb Z_2$-Betti 数 $b_k$ 的紧致、$(k-1)$-连通 $2k$-流形：$\binom{n-k-1}{k+1} \le \binom{2k+1}{k+1}b_k$。这是曲面上图的情形以及 van Kampen--Flores 定理（分别为 $k=1$ 和 $b_k=0$ 的特例）的共同推广，也与三角化流形的面数理论密切相关。秉承 K"uhnel 猜想的精神，我们证明了如果 $n$-单纯形的 $k$-骨架嵌入具有第 $k$ 个 $\mathbb Z_2$-Betti 数 $b_k$ 的 $2k$-流形，则 $n \le 2b_k\binom{2k+2}{k} + 2k + 4$。该界弱于广义 Heawood 不等式，但不需要 $M$ 是 $(k-1)$-连通的假设。我们的结果可推广至没有 $q$-覆盖点的映射，这秉承了 Tverberg 定理的精神，其中 $q$ 为素数幂。我们的证明使用了 Volovikov 关于满足特定同伦平凡性条件的映射的结果。