浸入流形的共点法线

长久以来有如下猜想：对任意凸体$K \subset \mathbb{R}^n$，存在K内部一点，属于来自K边界不同点的至少$2n$条法线。该猜想对$n=2,3,4$已知成立。受Y. Martinez-Maure近期结果及A. Grebennikov与G. Panina方法的启发，我们证明如下：设紧致光滑$m$维流形$M^m$浸入于$\mathbb{R}^n$中。我们假设至少一个同调群$H_k(M^m,\mathbb{Z}_2)$（$k<m$）消失。则在温和条件下，几乎每条$M^m$的法线都包含一个来自$M^m$不同点的至少$\beta +4$条法线的交点，其中$\beta$为$M^m$的Betti数之和。