$\mathbb{R}^3$ 中的每个一般多面体都有一个具有十条边界法线的点

长期以来人们一直猜想，每个光滑凸体 $\mathbf{P}\subset \mathbb{R}^n$ 的内部都有一个点，该点属于来自 $\mathbf{P}$ 边界上不同点的至少 $2n$ 条法线。该猜想已在 $n=2,3,4$ 时得到证明。我们针对 $\mathbb{R}^3$ 中的凸多面体处理相同问题，并证明每个一般多面体的内部都有一个至少有 $10$ 条边界法线的点。该界限是精确的：存在一个四面体，其内部一点引出的法线不超过 $10$ 条。该证明基于 Morse 理论的分段线性类比、分岔分析以及一些组合技巧。