多面体高斯和与具有对称性的多胞体

我们定义了与每个凸整数多胞体 $P$ 相关联的、由 $n$ 次单位根构成的特定自然有限和，称为 $G_P(n)$，它将定义在 $\mathbb Z/ {n \mathbb Z}$ 上的经典一维高斯和 $G(n)$ 推广到更高维的阿贝尔群和整数多胞体。我们考虑由关于坐标超平面的反射以及坐标的所有置换生成的有限外尔群 $\mathcal{W}$；进一步，令 $\mathcal G$ 为由 $\mathcal{W}$ 以及 $\mathbb Z^d$ 中所有整数平移生成的群。我们证明，如果 $P$ 在 $\mathcal G$ 的作用下多重铺砌 $\mathbb R^d$，那么我们有闭形式 $G_P(n) = \text{vol}(P) G(n)^d$。反之，我们也证明，如果 $P$ 是 $\mathbb R^3$ 中体积为 $1/6$ 的格点四面体，使得对于 $n \in \{ 1,2,3,4 \}$ 有 $G_P(n) = \text{vol}(P) G(n)^d$，那么存在 $\mathcal G$ 中的元素 $g$，使得 $g(P)$ 是以 $(0,0,0)$, $(1, 0, 0)$, $(1,1,0)$, $(1,1,1)$ 为顶点的基本四面体。