具有平行体基的 $n$ 变量指数和的牛顿多边形

设 $p$ 为素数。特征为 $p$ 的有限域上的每一个 $n$ 变量多项式 $f(\underline x)$ 都定义了一个 Artin--Schreier--Witt 簇塔，其 Galois 群同构于 $\mathbb{Z}_p$。本文的目标是研究与 $\mathbb{Z}_p$ 的有限特征和凸包为 $n$ 维平行体 $\Delta$ 的通用多项式相关联的 $L$-函数的牛顿多边形。我们将此多边形记为 $\mathrm{GNP}(\Delta)$。我们证明了 $\mathrm{GNP}(\Delta)$ 的一个下界，称为改进 Hodge 多边形 $\mathrm{IHP}(\Delta)$。我们证明了 $\mathrm{IHP}(\Delta)$ 在无穷多个特定点处位于通常的 Hodge 多边形 $\mathrm{HP}(\Delta)$ 之上，并且当 $p$ 大于由 $\Delta$ 确定的某个固定数时，它在这些点处与 $\mathrm{GNP}(\Delta)$ 重合。作为推论，我们大致确定了 $\mathrm{GNP}(\Delta)$ 斜率的分布。