指数和 L-函数的 p-进变分, I

对于 $(\mathbb{Z}_p\cap \mathbb{Q})[x]$ 中次数为 $d>2$ 的多项式 $f(x)$，令 $L(f \bmod p;T)$ 为 $f \bmod p$ 的指数和的 $L$-函数。令 $\mathrm{NP}(f \bmod p)$ 表示 $L(f \bmod p;T)$ 的 Newton 多边形。令 $\mathrm{HP}(f)$ 表示 $f$ 的 Hodge 多边形，即实平面中点 $(n,n(n+1)/(2d))$（$0\leq n\leq d-1$）的下凸包。我们证明在 $\mathbb{Q}$ 上次数为 $d$ 的首一多项式空间 $\mathbb{A}^d$ 中存在一个定义在 $\mathbb{Q}$ 上的 Zariski 稠密子集 $\mathcal{U}$，使得对所有 $\mathcal{U}(\mathbb{Q})$ 中的 $f$ 都有 $\lim_{p\rightarrow\infty} \mathrm{NP}(f \bmod p) = \mathrm{HP}(f)$。此外，对于充分大的 $p$ 及 $\mathcal{U}(\mathbb{Q})$ 中的 $f$，以及对于所有 $a\neq 0$ 的 $L(x^d+a x \bmod p;T)$，我们确定了其每一系数的 $p$-进赋值。