$P^1$ 上初等阿贝尔 $p$-扩张的渐近变化

令 $A^d$ 表示某个 $d\ge 3$ 的单变量 $d$ 次多项式 $f$ 的系数空间。对于 $A^d(\bar{\mathbb{F}}_p)$ 中的任意 $\bar{f}$，如果秩为 $\ell$ 的 Artin-Schreier 曲线 $X_{\bar{f},\ell}: y^{p^\ell}-y= \bar{f}$ 的归一化牛顿多边形在 $A^d(\bar{\mathbb{F}}_p)$ 中达到下确界，则称其为普通曲线。给定 $\ell$ 和一个数域 $K$，我们证明在 $A^d$ 中存在一个定义在 $\mathbb{Q}$ 上的 Zariski 稠密开子集 $U$，使得若 $f \in U(K)$，则对于所有满足 $\deg(\wp) \in \ell\mathbb{Z}$ 且 $p$ 足够大的素数 $\wp|p$，曲线 $X_{(f\bmod \wp),\ell}$ 均为普通曲线。