Artin-Schreier 曲线的斜率估计

设 $f(x) = x^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_0$ 为 $\mathbb Q[x]$ 中一个 $d$ 次多项式。对每个与 $d$ 互素且在 $(Z_p \cap \mathbb Q)[x]$ 中的素数 $p$ 和 $f(x)$，令 $X/\mathbb F_p$ 为仿射方程 $y^p - y = f(x) \bmod p$ 定义的 Artin-Schreier 曲线。令 $NP_1(X/\mathbb F_p)$ 为 $X/\mathbb F_p$ 的 Newton 多边形的第一斜率。我们证明在 $\mathbb Q$ 上首一 $d$ 次多项式空间 $\mathbb A^d$ 中存在一个 Zariski 稠密子集 $U$，使得对所有 $f(x) \in U$，当 $p$ 趋于无穷时 $NP_1(X/\mathbb F_p)$ 的极限等于 $1/d$。这是 Wan 猜想的一个“第一斜率版本”。令 X/\mathbb F_{p\bar} 为仿射方程 $y^p - y = F(x)$（其中 $F(x) = x^d + A_{d-1}x^{d-1} + \ldots + A_0$）定义的 Artin-Schreier 曲线。我们证明若 $p>d>1$ 则 NP_1(X/\mathbb F_{p\bar}) \ge \lceil(p-1)/d\rceil/(p-1)。若 $p>2d>3$，我们给出等号成立的一个充分条件。