关于阿贝尔 l-扩张的密度

我们推导出了一个渐近公式，用于计数有理函数域上素数阶阿贝尔扩张的数量。具体而言，设 $\ell$ 为有理素数，$K$ 为有理函数域 $\Bbb F_q(t)$ 且 $\ell \nmid q$。设 $\textup{Disc}_f\left(F/K\right)$ 表示 $F$ 在 $K$ 上的有限判别式。记满足 $\textup{deg}\left(\textup{Disc}_f(F/K)\right) = (\ell-1)\alpha n$ 的阿贝尔 $\ell$-扩张 $F/K$ 的数量为 $a_{\ell}(n)$，其中 $\alpha=\alpha(q, \ell)$ 是 $q$ 在乘法群 $\left(\Bbb Z/\ell \Bbb Z\right)^\times$ 中的阶。我们给出了 $a_\ell(n)$ 的显式渐近公式。在 $q\equiv 2 \pmod 3$ 的三次扩张情形下，我们的公式给出了 Cohn 经典公式的精确类比。