度量约束下多胞形的刚性、张拉整体与重构

我们猜想，在所有维度和所有组合类型中，凸多胞形由其边图、边长及其顶点到某一任意内点的距离集合在等距意义下唯一确定。我们进一步提出更强的猜想：对于具有相同边图的两个多胞形 $P\subset\mathbb R^d$ 和 $Q\subset\mathbb R^e$，$Q$ 不可能边长比 $P$ 长的同时还具有更小的顶点到点距离。我们发展了攻击该问题的技术，并在三个相关特例中验证了它：若 $P$ 和 $Q$ 中心对称，若 $Q$ 是 $P$ 的微小扰动，以及若 $P$ 和 $Q$ 组合等价。在前两种情况下，如果我们将 $Q$ 替换为 $P$ 的边图 $G_P$ 的某个图嵌入 $q\colon V(G_P)\to\mathbb R^e$，结论仍然成立，这可以解释为某些张拉整体框架的局部刚性及普适刚性。我们还证明了，多胞形由其边图、边长及某一任意内点的 Wachspress 坐标在仿射等价意义下唯一确定。最后，我们概述了相关及后续问题。