完全 3-一致超图的亏格

1968 年，Ringel 和 Youngs 通过确定每个完全图 $K_n$ 的亏格，证实了 Heawood 猜想最后一个未决情形。在本文中，我们研究完全 $3$-一致超图 $K_n^3$ 的最小亏格嵌入。超图 $H$ 的嵌入定义为其关联 Levi 图 $L_H$ 的嵌入，该图顶点集为 $V(H)\sqcup E(H)$，其中 $v\in V(H)$ 与 $e\in E(H)$ 相邻当且仅当在 $H$ 中 $v$ 与 $e$ 关联。我们确定了当 $n$ 为偶数时 $K_n^3$ 的可定向与不可定向亏格。此外，证明了 $K_n^3$ 的非同构最小亏格嵌入数至少为 $2^{\frac{1}{4}n^2\log n(1-o(1))}$。证明中的构造作为设计型问题可能具有独立意义。