完全图的四边形嵌入与偶地图着色定理（附详细证明）

Hartsfield 和 Ringel 为满足 $n\equiv 5 \pmod 8$ 的完全图 $K_n$ 构造了可定向四边形嵌入，并为满足 $n \ge 9$ 且 $n\equiv 1 \pmod 4$ 的完全图构造了不可定向嵌入。这些嵌入提供了其基底曲面的最小四边形剖分。我们扩展了这些结果，对每个 $n \ge 4$ 的完全图 $K_n$，确定了其存在所有面度数至少为 4 的嵌入的曲面之最小亏格（包括可定向与不可定向），以及其存在所有面度数为偶数的嵌入的曲面之最小亏格。后一类嵌入为 Hutchinson 关于嵌入图中所有面度数为偶数时色数上界的结果提供了尖锐性例子，从而完成了偶地图着色定理的证明。我们还证明，如果一个连通简单图 $G$ 具有完美匹配和一个圈，则其字典序积 $G[K_4]$ 具有可定向和不可定向四边形嵌入；这提供了最小四边形剖分的新例子。