关于有限畸变极值映射的唯一性

对于任意凸函数$\Psi:[1,\infty) \to [1,\infty)$，我们考虑以下两个相关极值问题中的唯一性：问题A边值问题：建立并实现映射$f$的存在性且予以描述，使得 \inf_f \Big\{ \int_{\Bbb D} \Psi({\Bbb K}(z,f))\; dz : f:\bar{\Bbb D} \to \bar{\Bbb D} \; \mbox{在$W^{1,1}_{0}({\Bbb D})+f_0$中的同胚} \Big\}. 此处数据$f_0:\bar{\Bbb D} \to \bar{\Bbb D}$是具有有限畸变的同胚，且$\int_{\Bbb D} \Psi({\Bbb K}(z,f_0))\; dz<\infty$——一个壁垒。接下来，给定两个同胚Riemann曲面$R$与$S$以及数据$f_0:R \to S$一个微分同胚。\noindent{\bf 问题B} {\em （同伦类中的极值）：} 建立并实现映射$f$的存在性且予以描述，使得 \inf_f \Big\{ \int_R \Psi({\Bbb K}(z,f))\; \;d\sigma(z) : \mbox{$f$为与$f_0$同伦的同胚} \Big\}. 存在性与正则性有两个基本障碍。其一是Ahlfors-Hopf微分的存在，其二是极小元为同胚。当这些限制被满足时（它们常可满足），我们表明唯一性得以保证。这些结果通过将经典Reich-Strebel不等式推广至该变分设定而确立。