指数 Teichmüller 理论：Ahlfors-Hopf 微分与微分同胚

我们考虑在固定同伦类 $[f_0]$ 中，解析有限黎曼曲面之间的有限畸变 $\IK(z,f)$ 同胚映射 $f:R \to S$ 的 $p$-指数共形能量极小化问题，$$\mE_p(f:R,S)=\int_R \exp(p\IK(z,f))\; d\sigma(z).$$ 若障碍映射是一个具有有限能量的同胚，即 $\mE_p(f_0,R,S)<\infty$，则存在同胚极小化映射。一般来说，这个问题不是变分问题，然而 Euler-Lagrange 方程表明，足够正则的驻点解的逆映射 $h=f^{-1}$ 具有一个相关的全纯二次微分——Ahlfors-Hopf 微分，\Phi=\exp(p\IK(w,h))\,h_w\overline{h_\bar{w}}\,d\sigma_R(h). 利用 Riemann-Roch 定理和一个逼近技术，我们证明了极值映射满足变分方程。我们以此作为更高正则性的起点，证明如果 $h:\Omega\to\tilde{\Omega}$ 是平面区域之间具有全纯 Ahlfors-Hopf 微分的 Sobolev 同胚，那么 $h$ 是一个微分同胚。由此可得，$h$ 在由其自身（光滑）畸变诱导的度量下是调和的。我们推导出 $h$ 的 Beltrami 系数方程，建立了退化椭圆型非线性 Beltrami 方程与这些调和映射之间的联系。在曲面上，我们得出结论：$\mE_p(f:R,S)$ 在 $[f_0]$ 中的极小化映射 $f_p$ 是微分同胚，并且是唯一的驻点。这现在将 Teichmüller 理论的两种不同方法联系起来：经典的极值拟共形映射理论和调和映射理论。当 $p\to\infty$ 时，我们证明 $f_p\to f_\infty$ 以恢复唯一的极值拟共形映射。这个极值拟共形映射不是微分同胚（除非它是共形的），并且 $f_p$ 在一个除子上退化。当 $p\to0$ 时，我们恢复 $[f_0]$ 中的调和微分同胚以及 Shoen-Yau 的结果。