$L^p$ Teichmüller 理论：临界点的存在性与正则性

我们研究 $p$-共形能量泛函的极小元，$$\mathsf{E}_p(f):=\int_\ID \IK^p(z,f)\,dz,\quad f|_\IS=f_0|_\IS,$$ 其定义于具有有限畸变且边界值给定为 $f_0$ 的自映射 $f:\ID\to\ID$ 上。此处 $$\IK(z,f) = \frac{\|Df(z)\|^2}{J(z,f)} = \frac{1+|\mu_f(z)|^2}{1-|\mu_f(z)|^2}$$ 为逐点畸变泛函，$\mu_f(z)$ 为 $f$ 的 Beltrami 系数。我们证明，对于拟对称边界数据，极限情形 $p\to\infty$ 恢复了经典极值拟共形映射的 Teichmüller 理论（部分结果为 Ahlfors 所得），而 $p\to1$ 恢复了调和映射理论。$\mathsf{E}_p$ 的临界点总满足内变分分布方程 $$2p\int_\ID \IK^p\;\frac{\overline{\mu_f}}{1+|\mu_f|^2}\varphi_\zbar \; dz=\int_\ID \IK^p \; \varphi_z\; dz,\quad\forall\varphi\in C_0^\infty(\ID ).$$ 我们建立了在 {\em a priori} 正则类 $W^{1,\frac{2p}{p+1}}(\ID)$ 中极小元的存在性，并证明这些极小元具有伪逆——一个连续的 $W^{1,2}(\ID)$ 满射 $h:\ID\to\ID$，满足 $(h\circ f)(z)=z$ 几乎处处成立。随后我们给出保证分布方程解具有 $C^{\infty}(\ID)$ 光滑性的充分条件。例如，对任意 $r>p+1$，$\IK(z,f)\in L^r_{loc}(\ID)$ 足以推出分布方程的解均为局部微分同胚。进一步，$\IK(w,h)\in L^1(\ID)$ 将推出 $h$ 为同胚，结合这些结果可得微分同胚极小元。我们证明此类更高正则性假设对于内变分方程的临界点是必要的。