环面上的 Riesz 能量：极小化子的正则性

我们研究 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d$ 上最小化如下类型相互作用泛函的 $N$ 个点的集合：$$\sum_{i, j =1 \atop i \neq j}^{N}{ f(x_i - x_j)}.$$ 主要结果表明，对于一类行为类似于 Riesz 能量 $f(x) \sim \|x\|^{-s}$（$0< s < d$）的函数 $f$，点的极小化构型相对于在研究分布不规则性中出现的 Fourier 解析正则性测度具有最优正则性。一个特别的推论是，它们在达到一定次数的三角多项式空间中是最优求积节点。该证明可扩展到其他设置，并且也涵盖不那么奇异的函数，例如 $f(x) = \exp\bigl(- N^{\frac{2}{d}} \|x\|^2 \bigr)$。