Riesz 相互作用的次阶渐近与重整化能量

我们研究在 $d \ge 1$ 维欧几里得空间中，通过 Riesz 核 $|x|^{-s}$ 相互作用并受外部势约束的 $n$ 个点组成的系统，其中 $d-2\le s<d$。我们也处理了 1 维和 2 维中对数相互作用的情况。我们的研究涵盖并复现了 \cite{ss2d,ss1d,rs} 中先前研究的所有情形。我们的方法基于 Caffarelli-Silvestre 延拓公式，该公式允许将 Riesz 核视为扩展空间 $\mathbb{R}^{d+1}$ 中一个（非齐次）局部算子的核。当 $n \to \infty$ 时，我们在系统总能量的渐近展开中展示了一个 $n^{1+s/d}$ 阶的次领头项，其中 $n^{1+s/d}$ 因子中的常数项取决于点的微观排列，并以“重整化能量”表示。这个新对象预期会惩罚全空间中无限点集的无序性，并被 Bravais 晶格（或晶体）构型所极小化。我们给出了在系统中加入温度时对统计力学的应用，并确定了一个预期的“结晶区域”。我们还得到了能量极小化子的点分离性结果。