平坦环面上Riesz势的下一阶能量渐近性

设 $\Lambda$ 为 ${\bf R}^d$ 中具有正协体积的格。在 $\Lambda$-周期 $N$ 点构型中，我们考虑最小重整化Riesz $s$-能量 $\mathcal{E}_{s,\Lambda}(N)$。尽管在长程情形 $0<s<d$（或 $s=\log$）下当 $N$ 趋于无穷时 $\mathcal{E}_{s,\Lambda}(N)$ 渐近展开的主项可由经典势理论得到，但下一阶项需要不同的方法。本文推导下一阶项或多阶项的形式，即对于 $s>0$，它们形如 $C_{s,d}|\Lambda|^{-s/d}N^{1+s/d}$ 和 $-\frac{2}{d}N\log N+\left(C_{\log,d}-2\zeta'_{\Lambda}(0)\right)N$，其中我们证明常数 $C_{s,d}$ 与格 $\Lambda$ 无关。