黎曼圆上的离散能量渐近分析

我们推导了在${\mathbb R}^p$ ($p\geq2$)中一条可求长的简单闭曲线$\Gamma$上，$N$个等间距点测地线$f$-能量关于$N$的幂次完整渐近展开式，当$N \to \infty$时。对于递减且凸的函数$f$，这种点配置最小化了$f$-能量$\sum_{j\neq k}f(d(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k))$，其中$d$是$\Gamma$上两点之间的测地距离(相对于$\Gamma$)。研究了完全单调函数、解析核函数、洛朗级数和加权核函数$f$。特别令人感兴趣的是测地Riesz势$1/d^s$ ($s \neq 0$)和测地对数势$\log(1/d)$。通过解析延拓，我们推导出对所有复数$s$的展开式。