贪婪能量点的渐近行为

对于局部紧豪斯多夫空间$X$上的对称核$k:X\times X \to \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$,我们研究了紧子集$A\subset X$的贪婪$k$-能量点$\{a_{i}\}_{1}^{\infty}$的渐近行为,这些点通过如下方式归纳定义:任意选取$a_{1}\in A$,并选择$a_{n+1}$使得$\sum_{i=1}^{n}k(a_{n+1},a_{i})=\inf_{x\in A}\sum_{i=1}^{n}k(x,a_{i})$。我们给出了这些点(也称为Leja点)渐近能量最小化(即当$N\to\infty$时,能量$\sum_{i\neq j}^{N}k(a_{i},a_{j})$渐近等于$\mathcal{E}(A,N):=\min\{\sum_{i\neq j}k(x_{i},x_{j}):x_{1},...,x_{N}\in A\}$)且渐近分布等于$A$的平衡测度的充分条件。对于Riesz核$k_{s}(x,y):=|x-y|^{-s}$, $s>0$的情况,我们证明:如果$A$是$\mathbb{R}^{p}$中的可求长Jordan弧或闭曲线且$s>1$,则贪婪$k_{s}$-能量点不是渐近能量最小化的,这与$s<1$的情况形成对比。(事实上,我们证明对于$s>1$,不存在任何点列是渐近能量最小化的。)我们还获得了球面上贪婪$k_{s}$-能量点、贪婪最佳填充点以及加权Riesz核的额外结果。