贪心能量最小化可按二进制计数：点电荷与 van der Corput 序列

本文建立了势理论与数学物理中一个点集排列以最小化能量泛函的问题，与组合学与数论中在 $[0,1)$ 上构造“分布良好”点序列的问题之间的联系。设 $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ 满足 (i) 对称 $f(x) = f(1-x)$，(ii) 在 $(0,1)$ 上二次可微，且 (iii) 对所有 $x \in (0,1)$ 有 $f''(x)>0$。我们研究贪心动力系统：给定初始集合 $\{x_0, \ldots, x_{N-1}\} \subset [0,1)$，点 $x_N$ 由下式得到 $$x_{N} = \arg\min_{x \in [0,1)} \sum_{k=0}^{N-1}{f(|x-x_k|)}.$$ 我们证明，若以单一元素 $x_0=0$ 启动该构造，则所有出现的构造都是 van der Corput 序列（按二进制计数并关于小数点反射）的置换：\textit{贪心能量最小化复原了我们按二进制计数的方式。} 这给出了经典 van der Corput 序列的一种新构造。特例 $f(x) = 1-\log(2 \sin(\pi x))$ 回答了 Steinerberger 的一个问题。有趣的是，我们导出的点集在另一背景下亦作为单位圆盘上的 Leja 序列而为人所知。此外，对于满足附加假设的函数 $f$，我们给出了以此方式构造的任意序列偏差的一般界。