弱超模集函数的贪婪最小化

本文定义了集函数的弱-$\alpha$-超模性。机器学习和数据挖掘中的许多优化目标寻求在基数约束下最小化此类函数。我们证明了此类问题受益于贪婪扩展阶段。明确地说，设 $S^*$ 是最小化 $f$ 的基数为 $k$ 的最优集，设 $S_0$ 是满足 $f(S_0)/f(S^*) \le \rho$ 的初始解。那么，大小为 $|S| \le |S_0| + \lceil \alpha k \ln(\rho/\varepsilon) \rceil$ 的贪婪扩展 $S \supset S_0$ 可产生 $f(S)/f(S^*) \le 1+\varepsilon$。作为该框架的应用示例，我们给出了 $k$-means、稀疏回归和列子集选择的新双标准结果。