通过 Riesz 能量最小化离散化流形的低复杂度方法

设 $A$ 为嵌入欧几里得空间 $\RR^p$ 中的紧致 $d$-可求积集，$d\le p$。对于 $A$ 上关于 $d$ 维 Hausdorff 测度的给定连续分布 $\sigma(x)$，我们之前的结果提供了一种在 $A$ 上生成 $N$ 点构型的方法，使得当 $N\to \infty$ 时其渐近分布为 $\sigma (x)$；此外，此类构型在覆盖半径与分离距离之比为与 $N$ 无关的有界量这一意义上是“拟均匀”的。该方法基于最小化约束在 $A$ 上的 $N$ 个粒子的能量，这些粒子通过加权幂律势 $w(x,y)|x-y|^{-s}$ 相互作用，其中 $s>d$ 为固定参数，且 $w(x,y)=\left(\sigma(x)\sigma(y)\right)^{-({s}/{2d})}$。在此我们表明，可以生成具有上述性质的 $A$ 上的点，而在能量求和中仅保留彼此距离至多为 $r_N=C_N N^{-1/d}$ 的点对，其中 $C_N$ 是任意缓慢趋于无穷的正序列。为此，我们针对变化的截断权重 v_N(x,y)=\Phi\(\left|x-y\right|/r_N\)w(x,y) 最小化能量，其中 $\Phi:(0,\infty)\to [0,\infty)$ 是有界函数，满足 $\Phi(t)=0$（当 $t\geq 1$）且 $\lim_{t\to 0^+}\Phi(t)=1$。在适当假设下，这将生成 $N$ 点“低能量”离散化的计算复杂度降低至 $O(N C_N^d)$ 阶。