单位圆与球面上贪心能量序列的渐近性

对于参数 $\lambda>0$，我们研究单位球面 $S^{d}\subset\mathbb{R}^{d+1}$（$d\geq 1$）上的贪心 $\lambda$-能量序列 $(a_{n})_{n=0}^{\infty}$，其满足定义性质：每个 $a_{n}$（$n\geq 1$）是势能 $\sum_{k=0}^{n-1}|x-a_{k}|^{\lambda}$ 在 $S^{d}$ 上取得最大值的点。我们证明这些序列满足对称性质 $a_{2k+1}=-a_{2k}$（对每个 $k\geq 0$）。该序列的渐近分布在 $\lambda=2$ 处经历急剧转变，从均匀分布（$\lambda<2$）转变为集中在两个对跖点上（$\lambda>2$）。我们研究该序列前 $N$ 个点的 $\lambda$-能量的一阶和二阶渐近性，以及极值 $\sum_{k=0}^{n-1}|a_{n}-a_{k}|^{\lambda}$ 的渐近行为。二阶渐近性在单位圆上进行了分析。结果表明，这种渐近行为与单位圆上 $N$ 个等距点的行为显著不同，并且在 $\lambda=1$ 处发生了行为的转变。