从渐近分布与 vague 收敛到一致收敛，及其数值应用

设 $\{\Lambda_n=\{\lambda_{1,n},\ldots,\lambda_{d_n,n}\}\}_n$ 为实数有限多重集的序列，满足 $d_n\to\infty$（当 $n\to\infty$），并设 $f:\Omega\subset\mathbb R^d\to\mathbb R$ 为定义在域 $\Omega$ 上的 Lebesgue 可测函数，且 $0<\mu_d(\Omega)<\infty$，其中 $\mu_d$ 为 $\mathbb R^d$ 中的 Lebesgue 测度。我们称 $\{\Lambda_n\}_n$ 具有由 $f$ 描述的渐近分布，并记作 $\{\Lambda_n\}_n\sim f$，若对每个具有有界支撑的连续函数 $F$ 有 $$\lim_{n\to\infty}\frac1{d_n}\sum_{i=1}^{d_n}F(\lambda_{i,n})=\frac1{\mu_d(\Omega)}\int_\Omega F(f({\boldsymbol x})){\rm d}{\boldsymbol x}\qquad\qquad(*)$$ 成立。若 $\Lambda_n$ 为矩阵 $A_n$ 的谱，我们称 $\{A_n\}_n$ 具有由 $f$ 描述的渐近谱分布，并记作 $\{A_n\}_n\sim_\lambda f$。在 $d=1$、$\Omega$ 为有界区间、对所有 $n$ 有 $\Lambda_n\subseteq f(\Omega)$ 且 $f$ 满足适当条件的情形下，Bogoya、Böttcher、Grudsky 和 Maximenko 证明了渐近分布(*)蕴含适当排序的向量 $[\lambda_{1,n},\ldots,\lambda_{d_n,n}]$ 与样本向量 $[f(x_{1,n}),\ldots,f(x_{d_n,n})]$ 之差一致收敛到 $0$，即 $$\lim_{n\to\infty}\,\max_{i=1,\ldots,d_n}|f(x_{i,n})-\lambda_{\tau_n(i),n}|=0, \qquad\qquad(**)$$ 其中 $x_{1,n},\ldots,x_{d_n,n}$ 为 $\Omega$ 中的均匀网格，$\tau_n$ 为排序置换。我们将此结果推广到 $d\ge1$ 且 $\Omega$ 为 Peano--Jordan 可测集（即有界集且 $\mu_d(\partial\Omega)=0$）的情形。摘要其余部分见文稿。