一种促进低差异点集的非局部泛函

设 $X = \left\{x_1, \dots, x_N\right\} \subset \mathbb{T}^d \cong [0,1]^d$ 为 $d$ 维环面上的 $N$ 个点组成的集合，我们希望将其排列得尽可能规则。本文旨在引入一个奇特的能泛函 $$E(X) = \sum_{1 \leq m,n \leq N \atop m \neq n} \prod_{k=1}^{d}{ (1 - \log{\left(2 \sin{ \left( \pi |x_{m,k} - y_{m,k} |\right)} \right)})}$$ 并表明将集合 $X$ 沿 $-\nabla E(X)$ 方向移动可能产生增加集合规则性（即降低差异度）的效果。我们针对 Halton、Hammersley、Kronecker、Niederreiter 和 Sobol 集合数值演示了该效应。$d=2$ 时的格点是该能泛函的临界点，其中一些（可能全部）是严格局部极小点。